Die Ziffer 9

[fliegermichl]

In diesem Video erklärt Ricardo Leppe, dass man jede Addition ganz einfach überprüfen kann, indem man die Quersumme der Operanden vom Ergebnis abzieht. Die Quersumme daraus ergibt immer 9.

Im Video sagt er, dass das auch für die Multiplikation zutrifft. Das stimmt nicht ganz.
Hier muß die Quersumme der Faktoren miteinander multipliziert und dann erst vom Produkt abgezogen werden.

Das gleiche gilt auch für Subtraktion und Division, wobei hier die Richtung umgedreht werden muß.

Ich habe mal ein kleines Lazarusprogramm gemacht, um das zu testen.
Umgesetzt ist es hier aber nur für die Addition und die Multiplikation.
Funktioniert.

[af0815]

Ich kenne eine Regel, die besagt das man mit Hilfe einer einstelligen Ziffernsumme eine Multiplikation überprüfen kann. Die Multiplikation der Ziffernsumme der beiden Operanden (mit neuerlicher einstelliger Ziffernsumme) muss gleich der einstelligen Ziffernsumme des Ergebnis sein.

War deswegen interessant, weil ich die Generation ohne Taschenrechner in der Schule war und so Multiplikationen prüfen konnte.

Später habe ich auch noch Rechenschieber gelernt !!! Geil ! Bevor der Taschenrechner (TI 58 oder SR 56) aufgekommen ist. Puhhh ist ja bald fast ein halber Jahrhundert her. Übrigend den Rechenschieber habe ich noch. Da sind noch keine Batterien leer oder ausgeronnen (Joke)

[TSchnuckenbock]

Im Studium hörte ich mal eine Vorlesung über Zahlentheorie. Lang ist's her.
Da ist mir noch so dunkel in Erinnerung, daß der Professor einige Rechentricks unter anderem mit 9 zeigte und auch erklärte, warum das so ist, also den Beweis dazu lieferte.
Das war eine beeindruckende Sache, weil man es auch verstand.

Wenn ich mich recht erinnere, dann kam neben Quersumme auch Module-Rechnung immer wieder vor.

https://de.wikipedia.org/wiki/Modulare_Arithmetik

Mal platt ausgedrückt, die 9 ist bis zur 10 im Zehnersystem genau 1, was diese Tricks ermöglicht....so in der Art als Ansatz.

Es gibt noch viel mehr Rechentricks. Früher lernten Schüler sowas noch in der Schule. Mein Russen-Kollege zeigte mir in der Vergangenheit ein paar Sachen, wie der Russe rechnet. Die hatten bzw. haben sowas noch in ihrem Unterricht.

Früher befassten sich die etwas gebildeten Leute in ihrer Freizeit viel mehr mit Mathematik. TV, Smartphone und sowas gab's ja nicht!
Stichwort ist hier: "Unterhaltungsmathematik".

https://de.wikipedia.org/wiki/Unterhaltungsmathematik

Sowas schult und fördert die grauen Zellen. Nicht umsonst ist z.B. Prof. Manfred Spitzer so engagiert darin, die Leute wieder mehr zum Training dieser grauen Zellen zu bewegen, besonders in einem Alter, in dem man seine Gehirn noch sehr schnell trainieren kann.
Im Alter fällt einem sowas dann immer schwerer.

Ich plädiere dafür, daß der TR erst in Klasse 8 oder 9 eingeführt wird, so für Sinus, Cosinus und Wurzel. Dafür reicht dann ein schnöder TI30. Und so ein schnöder Einfach-TR reicht auch bis zum Abitur! Kopfrechnen bzw. schritliches Rechnen mit Brüchen ist das A und O.

In einer Vorlesung lernten wir einen Trick, wie man Intergrale, in denen Sinus oder Cosinus drinsteckt manchmal lösen kann.
Diesen Trick zeigte ich vor einigen Jahren einem ehemaligen Lehrling von uns, der nach der Ausbildung ein Physik-Studium begonnen hatte und mich nach Hilfe für die Mathe-Hausaufgaben mit genauso einer Aufgabe fragte.

[Zvoni]

Ich finde michls Berechnung etwas skurril, insbesondere die Quersumme

Wie ich es gemacht hätte ohne das hin und hercasten zu string

Code: Alles auswählen

//Quersumme
function quer(ein : integer) : integer;
  var d : integer;
  begin
    Result := 0;
    repeat
      d:=ein mod 10;
      Result:=Result+d;
      Ein:=Ein Div 10;
    until Ein=0;
  end;

und nachdem man "differenz := Ergebnis - Quersumme;" ausgeführt hat, braucht man nicht durch die "Ziffern-als-String" laufen, um eine ggfs. auftauchende "9" zu ignorieren, nur um wieder die Quersumme zu bilden
Es reicht vollkommen aus, das Ergebnis mit "mod 9=0" zu prüfen

Code: Alles auswählen

If Ergebnis mod 9=0 Then AllesOK

Mir ist aber auch klar, dass du den gezeigten Algoritmus komplett nachgestellt hast, von daher gut gemacht

[fliegermichl]

Ich finde michls Berechnung etwas skurril, insbesondere die Quersumme

Wie ich es gemacht hätte ohne das hin und hercasten zu string

Code: Alles auswählen

//Quersumme
function quer(ein : integer) : integer;
  var d : integer;
  begin
    Result := 0;
    repeat
      d:=ein mod 10;
      Result:=Result+d;
      Ein:=Ein Div 10;
    until Ein=0;
  end;

Sehr gut. Auf die Idee bin ich nicht gekommen.

und nachdem man "differenz := Ergebnis - Quersumme;" ausgeführt hat, braucht man nicht durch die "Ziffern-als-String" laufen, um eine ggfs. auftauchende "9" zu ignorieren, nur um wieder die Quersumme zu bilden
Es reicht vollkommen aus, das Ergebnis mit "mod 9=0" zu prüfen

Code: Alles auswählen

If Ergebnis mod 9=0 Then AllesOK

Das kannte ich so noch nicht. Wieder was gelernt.
Andererseits sollte man das dokumentieren. Ich hätte nicht gewusst, dass Ergebnis mod 9 die Quersumme bildet und dabei alle 9er rausschmeisst.
Vielen Dank!

[Zvoni]

und nachdem man "differenz := Ergebnis - Quersumme;" ausgeführt hat, braucht man nicht durch die "Ziffern-als-String" laufen, um eine ggfs. auftauchende "9" zu ignorieren, nur um wieder die Quersumme zu bilden
Es reicht vollkommen aus, das Ergebnis mit "mod 9=0" zu prüfen

Code: Alles auswählen

If Ergebnis mod 9=0 Then AllesOK

Das kannte ich so noch nicht. Wieder was gelernt.
Andererseits sollte man das dokumentieren. Ich hätte nicht gewusst, dass Ergebnis mod 9 die Quersumme bildet und dabei alle 9er rausschmeisst.
Vielen Dank!

Nicht ganz. Ergebnis mod 9 BILDET NICHT die Quersumme, sondern dass eine gebildete Quersumme mit/ohne ignorierten "9"-ern durch 9 teilbar ist, was ja Ziel der Übung ist.
--> Ist eine Zahl (="Ergebnis") ganzzahlig durch 9 teilbar, so ist auch deren Quersumme durch 9 Teilbar

Das Beispiel aus dem Video.
Ergebnis - Quersumme = 198

Es ist egal ob du die 9 aus 198 für die Quersumme ignorierst, oder nicht
Quersumme 198 = 1+9+8 = 18 --> durch 9 teilbar
Quersumme 18 = 1+8 = 9 --> durch 9 teilbar
Aber: 198 selbst ist durch 9 Teilbar!!

Oder so:
Ergebnis - Quersumme = 293929191

2+9+3+9+2+9+1+9+1 = 45 --> durch 9 teilbar
2+3+2+1+1 = 9 --> durch 9 teilbar
Aber: 293929191 selbst ist durch 9 teilbar!