Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

[Euklid]

Hallo zusammen,

ich habe eine spezielle Frage an die in diesem Forum aktiven Mathematiker (und andere):
Ich kenne aus der Schulmathematik für reelle Zahlen die Logarithmen-Regel

Code: Alles auswählen

ln(x^r)=r*ln(x)

wegen

Code: Alles auswählen

ln(x^r) = ln(exp(r*ln(x)) = r*ln(x)

In der Mailing-Liste von Maxima wird von einem sehr kompetent erscheinenden Mathematiker gesagt, dass die Vereinfachung ln(1/x) --> -ln(x) falsch ist, vgl. http://article.gmane.org/gmane.comp.mat ... eral/31634" onclick="window.open(this.href);return false;
Zitat:

I try to find the underlying problem, because I think the integrator
should not depend on wrong simplifications like log(1/x) -> -log(x).

Dabei ist 1/x=x^(-1) und bei Gültigkeit der obigen Logarithmenregel sollte die Vereinfachung richtig sein. Daher meine Verwirrung.

Nun ist Maxima ein CAS, welches ebenfalls mit komplexen Zahlen umgehen kann.
Daher die Frage: Gilt obige Logarithmenregel ev. nur für reelle x? Wenn ja, weshalb nicht für komplexe?

Danke im Voraus für die Antworten!

Viele Grüße, Euklid

[mschnell]

Daher die Frage: Gilt obige Logarithmenregel ev. nur für reelle x? Wenn ja, weshalb nicht für komplexe?

Die komplexen Zahlen - als Erweiterung der Menge der reellen Zahlen - sind so gebastelt dass alle auf reellen Zahlen definierte Rechenoperationen, Regeln und Sätze entsprechend auch für sie gelten und dabei die "Einbettung" erhalten bleibt (die für reelle zahlen gültigen Operationen führen bei reellen Argumenten zu denselben (reellen) Erlebnissen). Möglicherweise gilt das nicht für gewisse Singularitäten.

-Michael

[indianer-frank]

Ich kenne aus der Schulmathematik für reelle Zahlen die Logarithmen-Regel

Code: Alles auswählen

ln(x^r)=r*ln(x)

]

Möglicherweise gilt das nicht für gewisse Singularitäten.

Ein Gegenbeispiel für beide Meinungen ist folgendes (x=-2, r=2: hier liegt keine Singularität vor!):

Code: Alles auswählen

1.38629436 = ln(4) = ln((-2)^2) <> 2*ln(-2) = 1.38629436+6.283185307*I

Gruß Frank

[Euklid]

Ein Gegenbeispiel für beide Meinungen ist folgendes (x=-2, r=2: hier liegt keine Singularität vor!):

Code: Alles auswählen

1.38629436 = ln(4) = ln((-2)^2) <> 2*ln(-2) = 1.38629436+6.283185307*I

Gruß Frank

Einleuchtendes Beispiel. Die Gültigkeit der Regel scheint sich auf positive reelle Zahlen zu begrenzen?

Gruß, Euklid

[indianer-frank]

Die Gültigkeit der Regel scheint sich auf positive reelle Zahlen zu begrenzen?

Nein, prinzipiell gelten die schon auch im Komplexen. Problematisch ist halt, daß der komplexe Logarithmus eine mehrwertige Funktion ist, bzw. eine Funktion mit mehreren Zweigen. Es gilt ja für alle natürlichen n die Gleichung exp(n*2πi) = 1; an den sogenannten Verzweigungsschnitten springt dann der Logarithmus um 2πi, oder wie Wiki sagt:

Man muss jedoch beachten, dass im Komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten, sondern nur noch modulo 2πi.

[Euklid]

Aah, sehr gut. Danke!

Viele Grüße, Euklid