Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

Für sonstige Unterhaltungen, welche nicht direkt mit Lazarus zu tun haben

Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

Beitragvon Euklid » 5. Aug 2010, 09:51 Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

Hallo zusammen,

ich habe eine spezielle Frage an die in diesem Forum aktiven Mathematiker (und andere):
Ich kenne aus der Schulmathematik für reelle Zahlen die Logarithmen-Regel
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ln(x^r)=r*ln(x)

wegen
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ln(x^r) = ln(exp(r*ln(x)) = r*ln(x)


In der Mailing-Liste von Maxima wird von einem sehr kompetent erscheinenden Mathematiker gesagt, dass die Vereinfachung ln(1/x) --> -ln(x) falsch ist, vgl. http://article.gmane.org/gmane.comp.mat ... eral/31634
Zitat:
I try to find the underlying problem, because I think the integrator
should not depend on wrong simplifications like log(1/x) -> -log(x).

Dabei ist 1/x=x^(-1) und bei Gültigkeit der obigen Logarithmenregel sollte die Vereinfachung richtig sein. Daher meine Verwirrung.

Nun ist Maxima ein CAS, welches ebenfalls mit komplexen Zahlen umgehen kann.
Daher die Frage: Gilt obige Logarithmenregel ev. nur für reelle x? Wenn ja, weshalb nicht für komplexe?

Danke im Voraus für die Antworten!

Viele Grüße, Euklid
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Beitragvon mschnell » 5. Aug 2010, 11:41 Re: Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

Euklid hat geschrieben:Daher die Frage: Gilt obige Logarithmenregel ev. nur für reelle x? Wenn ja, weshalb nicht für komplexe?

Die komplexen Zahlen - als Erweiterung der Menge der reellen Zahlen - sind so gebastelt dass alle auf reellen Zahlen definierte Rechenoperationen, Regeln und Sätze entsprechend auch für sie gelten und dabei die "Einbettung" erhalten bleibt (die für reelle zahlen gültigen Operationen führen bei reellen Argumenten zu denselben (reellen) Erlebnissen). Möglicherweise gilt das nicht für gewisse Singularitäten.

-Michael
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Beitragvon indianer-frank » 5. Aug 2010, 13:09 Re: Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

Euklid hat geschrieben:Ich kenne aus der Schulmathematik für reelle Zahlen die Logarithmen-Regel
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ln(x^r)=r*ln(x)
]
mschnell hat geschrieben:
Euklid hat geschrieben:Möglicherweise gilt das nicht für gewisse Singularitäten.

Ein Gegenbeispiel für beide Meinungen ist folgendes (x=-2, r=2: hier liegt keine Singularität vor!):
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1.38629436 = ln(4) = ln((-2)^2) <> 2*ln(-2) = 1.38629436+6.283185307*I

Gruß Frank
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Beitragvon Euklid » 5. Aug 2010, 15:04 Re: Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

indianer-frank hat geschrieben:Ein Gegenbeispiel für beide Meinungen ist folgendes (x=-2, r=2: hier liegt keine Singularität vor!):
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1.38629436 = ln(4) = ln((-2)^2) <> 2*ln(-2) = 1.38629436+6.283185307*I

Gruß Frank


Einleuchtendes Beispiel. Die Gültigkeit der Regel scheint sich auf positive reelle Zahlen zu begrenzen?

Gruß, Euklid
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Beitragvon indianer-frank » 5. Aug 2010, 15:41 Re: Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

Euklid hat geschrieben:Die Gültigkeit der Regel scheint sich auf positive reelle Zahlen zu begrenzen?
Nein, prinzipiell gelten die schon auch im Komplexen. Problematisch ist halt, daß der komplexe Logarithmus eine mehrwertige Funktion ist, bzw. eine Funktion mit mehreren Zweigen. Es gilt ja für alle natürlichen n die Gleichung exp(n*2πi) = 1; an den sogenannten Verzweigungsschnitten springt dann der Logarithmus um 2πi, oder wie Wiki sagt:
Man muss jedoch beachten, dass im Komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten, sondern nur noch modulo 2πi.
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Beitragvon Euklid » 5. Aug 2010, 17:24 Re: Frage an Mathematiker: Logarithmus-Regeln

Aah, sehr gut. Danke!

Viele Grüße, Euklid
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