Bremswegberechnung Frage an Mathematiker

[haderlump]

Hallo zusammen
Entschuldigt bitte schon im Voraus, dass das hier ein "Roman" wird.
Bei meinem Projekt "Modellbahnsteuerung" geht es unter anderem auch um eine automatische Bremssteuerung der Züge.
Erst mal die Ausgangslage. Ich will mal die Verhältnisse auf der Anlage schildern.

-------------------------BB---------------------------St-----Sig1--------------------------BB-----------------------St-----Sig2

BB ist ein vom Zug betätigter Kontakt für den Bremsbegin. St ein Kontakt der die Bremsung abschließt und den Zug stopt. Sig das zugehörige Signal. BB würde in Echt etwa dem Standort des Vorsignals entsprechen.

Es gibt nun 3 Situationen.
1. Der Zu kommt mit vollem Tempo und soll vor dem Signal zu stehen kommen.
2. Der Zug steht vor Sig1 (rot) , Sig 1 wird grün, Sig 2 ist aber rot. Der Zug beschleunigt, und bremst dann vor Signal 2 wieder ab.
3. Sig1 ist rot, der Zug bremst ab. Während der Zug abbremst, wird Sig 1 grün, Sig 2 ist aber weiterhin rot. Der Zug beschleunigt wieder, um beim 2. BB wieder zu bremsen (allerdings eventuell nicht aus Höchstgechwindigkeit).

Abhängig von der Geschwindigkeit würde der Lokfühere beim Vorbild bereits beim Vorsignal, oder aber wenn er langsamer ist etwas später zu bemsen beginnen. Er bremst den Zug dann bis auf 5-10 km/h ab, und rollt auf das Signal zu, um dann irgenwann die finale Bremsung eizuleiten.

Um das nachzubilden habe ich mir volgendes überlegt:
Ich habe einen Timer, der alle 100 mS die Situation neu berechnet.
Ich habe einen Referenzbremsweg mit zugehöriger Kurve. Ausgangspunkt ist dabei eine Geschwindigkeit von 120 km/h. Das entspricht Maßstabsgerecht umgerechnet 3,1 cm / Intervall( 100 mS). Die Bremsstrecke ist 400 cm. Wenn ich nun die Geschwindigkeit bei jedem Timeraufruf um 0,15% verringere habe ich nach 250 Durchgängen auf 10 km/h abgebremst, der Bermsweg von 400 cm ist dann zurückgelegt. und St würde die finale Bremsung einleiten. Bei dieser Berechnung wird auch dei Restbremsstrecke ermittelt.

Die Kurve hab ich mir mit hilfe von Excel erarbeitet.

Wenn nun ein Zug mit 50 km/h kommt wird seine Geschwindigkeitskurve (im Moment eine Gerade) irgendwann die Referenzbremskurve schneiden. Das ist dann der Punkt, wo die Bremsung beginnen muß. Auch bei der Beschleunigung (Situation 2 und 3) werden sich die Kurven irgendwann schneiden.

Meine Vorgehensweise: Die Istgeschwindigkeit ist bekannt. Da sich die Istgeschwindigkeit aber ändert, wird bei jedem Timeraufruf die Referenzreststrecke neu berechnet, gleichzeitig wird die Istreststrecke des Zuges ermittelt. Wenn nun die Istreststrecke <= Referenzstrecke ist, werden die Werte der Referenzkurve übernommen, und der Zug wird damit abgebremst.

So! Nun kommen wir zur eigentlichen Frage des Beitrags.
Ich ermittle die Werte der Referenzkurve über eine Schleifenkonstruktion.
Meine mathematischen Fähigkeiten reichen leder nicht aus, so etwas mit einer Formel zu berechnen.

Frage: Kann man das mit einer Formel machen, und wenn ja, wie würde die dann ausschauen ?
Also die Referenzreststrecke in Abhängigket der Zuggeschwindigkeit berechnen.

Habe fertig !!!!

Gruß Fritz

[Michl]

Ich versuch mal Dir zu antworten:

was Du benötigst ist eine quadratische Funktion siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Funktion

der Form y:=ax²+bx+c (quadratische Funktion mit 3 Unbekannten)

y ist in Deinem Fall der Bremsweg
x die Geschwindigkeit

Im Diagramm auf der Wiki-Seite sieht man, dass der Bremsweg (also y) exponential mit der Geschweindigkeit (x) zunimmt.

um Die Formel (a,b und c) berechnen zu können, benötigst Du min. 3 Punkte (y=... bei x=...).
Also Du ersetzt somit die Formel y:=a*x*x+b*x+c mit einem Wert, den Du in Deiner Tabelle ermittelt hast z.B. was Du geschrieben hast Bremsweg bei 400cm bei V=3,1cm/s:

... erste Werte: x=3,1 y=400 ... 400 = a * 3,1 * 3,1 + b * 3,1 +c ... 400 = 9,61 * a + 3,1 *b + c
... zweite Werte (habe ich mal irgendwie genommen): x=1,1 y=200 ... 200 = a * 1,1 * 1,1 + b * 1,1 + c ... 200 = 1,21 * a + 1,1 * b +c
... dritte Werte (wenn der Zug steht, ist der Bremsweg 0): x=0 y=0 ... 0 = a * 0 * 0 + b * 0 + c

jetzt löst Du die 3 Funktionen nacheinander (stellst sie nach der jeweiligen Variable a, b und c um und ersetzt diese in der nächsten Formel):
... das schöne in diesem Fall ist dass die 3.Formel direkt eine Unbekannte schon ergibt ... c = 0
... somit sind nur noch 2 Unbekannte zu ermitteln,

... erste Formel ... nach a auflösen ... 400 = 9,61a + 3,1b + 0 ... a = (400 - 3,1b) / 9,61 ... a = 41,42 - 0,32b (gerundet)
... a jetzt in zweite Formel einsetzen ... 200 = 1,21 * (41,42 - 0,32b) + 1,1b ... 200 = 50,12 - 0,39b + 1,1b ... 149,88 = 0,71b ... b = 211,1 (gerundet)
... jetzt b in vorherige Formel einsetzen ... a = 41,42 - 0,32 * 211,1 ... a = -26,1

falls ich mich nicht vertan habe lautet jetzt die Formel zur Berechnung des Bremsweges in Abhängigkeit der Geschwindigkeit (auf Grundlage meines zufällig gewählten Bremsweg)

y = -26,1 * x² + 211,1 *x

... In Deinem Fall muss a zwingend positiv sein, da der Bremsweg ja höher wird, umso schneller man fährt (meine selbst gewählte Geschwindigkeit stimmt somit in keinem Fall mit dem Bremsweg, dient ja aber nur zur Verdeutlichung zur Formelberechnung) und b wird 0 sein, siehe Wikipedia.

Ach ja, Funktion für Referenzreststrecke wäre dann das gleiche Vorgehen, 3 Punkte bzw. Werte nehmen, in Formel einsetzen und nacheinander auflösen.

Ich hoffe das hilft?!

[Horst_h]

Hallo,

auf Wikepedia steht ja was dazu:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bremsweg
zu 1 passend:
s = v^2/(2*a)
Bei einer Strecke s vor dem Signal, bitte bremsen.
Konstant beschleunigte Bewegung
v := v0+a*t und
s = v0*t+ 0.5*a*t^2

Dein zweiter Fall ist gleich dem dritten, einmal v0 = 0
Ab dem Zeitpunkt sig1=grün kennst Du die Wegstrecke bis zu Sig2.
Du kannst solange auf v1 mit Beschleunigung a1 beschleunigen bis s(v0,a1) +s(Bremsweg(v1,a2)= s_ges ist
s_beschl= v0*t+0,5*a1*t^2 // t = 0 ab sig1=grün
s_brems = v^2/(2*a) , hier = (v0+a1*t)^2/(2*a2)
Umgestellt, um die Zeit zu berechnen:
0 = s_beschl+s_brems-s_ges
...

Code: Alles auswählen

 
function BremsWeg(v,Beschl:double):double;
begin
  IF Beschl  0 then
    result := 1e308
  else
    result := ABS(sqr(v)/2*Beschl);
end;
 
function BremsZeit(v,Beschl:double):double;
begin
  IF Beschl = 0 then
    result := 1e308
  else
    result := sqrt(ABS(v/Beschl));
end;
 
function Beschleunigungszeit(v0, Bschl, brems, s_ges: double): double;
{Bestimmt bei vorgegener Strecke die Zeit, die man noch mit Bschl beschleunigen
(um noch passend mit "brems" bremsend zum Stehen zu kommen}
var
  fak2, p2, q: double;
begin
  //Reicht der Weg als Bremsweg
  if ABS(2 * brems * s_ges) < sqr(v0) then
  begin
    Result := -1;
    exit;
  end;
  //0= Beschleunigungsweg + Bremsweg-s_ges
  //Beschleunigungsweg = v0*t+0.5*Bschl*sqr(t)
  // v hat sich durch Beschleunigung auf v0+Bschl*t erhöht
  // s_brems = v^2/(2*a)
  //Bremsweg = (v0+Bschl*t)^2/(2*brems)
  //Nach t umstellen und aufloesen
  If brems=Bschl then begin
    fak2 :=  1/Bschl;
    p2 := v0 * fak2 * 2;
    q := (sqr(v0) / (2 * Bschl) - s_ges) * fak2;
    end
  else begin
    fak2 := (sqr(Bschl) / brems + Bschl) * 0.5;
    p2 := ((1 + Bschl / brems) * v0) / (fak2 * 2);
    q := (sqr(v0) / (2 * brems) - s_ges) / fak2;
    end;
  //x_12 := -p/2+-sqrt((-p/2)²-q)
  Result := -p2 + sqrt(sqr(p2) - q);
end; 

Die BremsZeit = sqrt(2*s/a)
oder anders , die Strecken, statt der Zeiten:
tb = Beschleunigungszeit(....);
v1 = v0+a1*tb = Maximale Geschwindigkeit
Die Beschleunigungsstrecke s_beschl = v0*tb+ 0.5*a*tb^2
Der Bremsweg s_brems = sqr(v1)/(2*a2)

x-Achse ist die Zeit,Blau ist die Strecke s, Grün die Geschwindigkeit v und rot die Beschleunigung a:
1 Sekunde Anfahrruck
200 konstante Beschleunigung
1 Sekunde senken der Beschleunigung auf 0
100 Konstantfahrt
Dann der Versuch genau bei 6000 m zu stehen, wobei mit Beschleunigung a1= 0.1 m/s^2 gefahren und Bremsbeschleunigung -0.2 m/s^2

Durch Anpassung des Zeitschrittes auf das Zeitintervall passt es nun recht genau.

Gruß Horst
EDIT: Datei angehängt.

[haderlump]

Danke Leute, Ihr seit der Wahnsinn. Ich muß mir das natürlich erst mal gründlich durcharbeiten, damit ich das alles verstanden habe.
Ich bin ja schon ein älterer Herr, und schon über 40 Jahre aus der Schule raus. Und in meinem Berufsleben brauchte ich Mathe nicht nicht annähernd in dieser Intensität. Aber das hilft mir schon sehr, ordenlich weiter.

Bessonderst dir Horst, möchte ich besonders danken, hast du mir die Lösung doch auf dem Silbertablett präsentiert.

Wenn es Fertig ist, werde ich mich nochmal melden.

Gruß Fritz

[mschnell]

Hmmm.

Die quadratische Formel ist sicherlich eine vernünftige Annäherung, aber wenn man von reiner Gleitreibung ausgeht, kann die Brems-Kraft abhängig (z.B. proportional ) zur Geschwindigkeit sein und die Verzögerung ( = "Beschleunigung" = Ableitung der Geschwindigkeit ) proportional zur Kraft. (http://de.wikipedia.org/wiki/Reibung: Gleitreibung tritt an den Kontaktflächen zwischen Körpern auf, die sich relativ zueinander bewegen. Bei einigen Werkstoffkombinationen tritt ein Kriechen auf, so dass die Reibungskraft entgegen dem Amontonsschen Gesetz geschwindigkeitsabhängig wird.) Ich vermute das ist mehr oder weniger immer so, weil ohne Bewegung (Geschwindigkeit) ja kaum ein "Gleit-Kraft" zustande kommen kann. Dan wirkt aber die Haft-Reibung, die wieder anderen Gesetzen folgt.

Bei Geschwindigkeits- proportionaler Kraft folgt die Geschwindigkeit einer Differentialgleichung erster Ordnung und die Lösung ist eine Exponentialfunktion in der Zeit: v = a * exp (b * t) (a positiv, b negativ)

Das bedeutet natürlich, dass der Zug niemals zum Stehen kommt.

Das macht das Phänomen hoch-komplex und rein theoretisch kaum geschlossen beschreibbar.

-Michael

[Horst_h]

Hallo,

Warum so kompliziert Es ist Haftreibung, keine durchdrehenden,gleitenden Räder. Sie rollen auf der Schiene ab ohne nennenswerten Schlupf.
Es geht um eine Modelleisenhbahn und nicht darum auf dem Mars zu landen...
Wenn ich das richtig bei Wikipedia gelesen habe, dann bremst und beschleunigt ein Zug, nicht nach dem physikalisch möglichen, sondern dem für die Zuggäste zuträglichem, meist weit unterhalb des physikalisch möglichen.

Natürlich könnte man Luftwiderstands und Hangabtriebskräfte berücksichtigen, indem man die Beschleunigung = Kraft/Masse entsprechend anpasst, was ich ganz rudimentär in der Änderung der Beschleunigung einbringen kann, oder man passt die Beschleunigung direkt selbst für jedes Zeitintervall an-> Euler-Cauchy.
Alternativ kann man Heun- oder Runge Kutta4 nutzen, Zeit genug wäre ja, aber dann müßte man eine Zielsuche machen, wo man tatsächlich zu stehen kommt, statt einfach eine quadratische Gleichung zu lösen.Aber das ist großen Kanonen auf Spatzen geschossen.
Ich weiß ja nicht, wie weit die Modellbahntechnik ist, dass man auch wirklich konstant beschleunigen kann.

Gruß Horst

P.S.:
Bei Fahrzeugen rechnet man leichter über die angreifenden Kräfte -> , denn Kraft = Masse* Beschleunigung.
Der Weg s ist einfach die Fläche unter Geschwindigkeit v und diese wiederum die Fläche unter Beschleunigung a.
Also ist s zweimal über a integriert.
Der Luftwiderstand = 0.5* cw*Querschnittsfäche*v^2 ist widerlicher Weise von v^2 abhängig,
Man kann dann sogar berücksichtigen, dass der Treibstoff bei Rennwagen und damit seine Masse weniger wird.

[mschnell]

Warum so kompliziert Es ist Haftreibung, keine durchdrehenden,gleitenden Räder. Sie rollen auf der Schiene ab ohne nennenswerten Schlupf.

Es geht doch um Bremsen, oder ???

Wenn es nur rollt und nicht gebremst wird, ist es Rollreibung.

Wenn es stillsteht und sich nicht bewegt, ist es Haftreibung.

Wenn es bremst, ist es Gleitreibung (zwischen Bremsklotz und Rad (bzw Bremsscheibe oder Trommel) )

Man kann dann sogar berücksichtigen, dass der Treibstoff bei Rennwagen und damit seine Masse weniger wird.

beim Bremsen ?

ist widerlicher Weise von v^2 abhängig

Magst Du keine nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ?

Aber über numerische Verfahren kann man erst diskutieren, wenn der zu verwendenden physikalische Formalismus klar ist.

-Michael

[haderlump]

ui Ui Ui jetzt wird es interessant.

Leute, es ist eigentlich eine Art Simulation. Keine grenzwerigen Angelegenheit.
Da die Modellbahn, ja 1:87 verlkeinert ist, die Trägheit aber absolut ist, ist die Gleitreibung auch 87 mal vom großen Vorbild entfernt.
Also kein relevanter Schlupf, den man berücksichtigen müßte. Und wenn die Bremsung auf 3 % genau ist, bin ich voll zufrieden.
Ob die Dekoder so genau arbeiten muß sich auch noch herausstellen.
Eine so echte Simulation des Bremsvorganges, also eine continuierliche Bremsung über 4m Bremsweg habe ich eh noch auf keiner Anlage gesehen.
Übrigens: Wer Bilder von meiner Anlage sehen will, kann mich mal im Modellbahnforum besuchen: http://stummiforum.de/viewtopic.php?f=6 ... =haderlump

Gruß Fritz

[Horst_h]

Hallo,

Offtopic, das Thema ist ja im Sinne des Fragestellenden gelöst.
Scheinbar kann man auch etwas anderes tun, als Programme schreiben
Was hast Du für eine sagenhafte Begeisterung für Dein Hobby und das Ergebnis lässt sich auch sehen!
Was macht man später damit, vererben?

Gruß Horst

[mschnell]

Da - meiner Ansicht nach - die Theorie keine sinnvollen exakten Ergebnisse liefern wird und Du, selbst wenn Du eine vollständig korrekte Theorie hast, nicht an die notwendigen Material-Konstanten herankommen wirst, würde ich das Problem pragmatisch angehen.

Ich würde also eine theoretisch einigermaßen passende Formel "raten" (also brutal vorgeben) (z.B. s = a + b*t + c*t²) und die Parameter anhand der Ergebnisse einer Messreihe numerisch approximieren (z.B. Ausgleichsrechnung: "Methode der kleinsten Quadrate")

Wenn die Parameter alle linear sind (also z.b. a + b*t + c*t²) brauchst Du dafür keine Iteration, sondern nur eine einfache Matrix-Rechnung ("T transponiert y = T mal T transponiert * x", was auf die Lösung eines Linearen Gleichungssystems herausläuft) Ich habe dafür vor einigen Jahren Pascal-Software gemacht, es gibt aber auch jede Menge davon im Internet.)

Wenn du nichtlineare Parameter brauchst (also z.b. s = a + b*exp(c*t) )ist das eine "nichtlineare Ausgleichsrechung", was nur iterativ geht und einigermaßen kompliziert ist. (Ich habe dafür vor einigen Jahren Pascal-Software gemacht, es gibt aber vielleicht so etwas auch anderswo im Internet.)

Es ist natürlich sehr wichtig, die Formel möglichst sinnvoll zu raten. Eine Betrachtung der Grenzfälle ist hier wichtig. z.B. sollten die Funktion und die Parameter so gewählt werden, dass die Startbedingung (Zeit 0, Geschwindigkeit v0 an Ort s0) und Ende-Bedingung (Zeit t Geschwindigkeit 0) passen.

Bei s = a + b*t + c*t² sieht man sofort, dass der Stllstand bei einem bestimmten Zeitpunkt t1 erreicht wird und der Zug nachher wieder fährt (rückwärts oder vorwärts, je nach Parametern). Das entspricht zwar nicht der Anschauung, die Formel könnte innerhalb ihres Geltungs-Bereich (0 < t < t1) trotzdem die Wirklichkeit hinreichensd exakt beschreiben.

Eine reine Exponentialfunktion ist sicher nicht sinnvoll, weil damit der Zug niemals stehenbleiben würde, sondern auf Ewigkeit nur immer langsamer würde, was der Anschauung widerspricht. (Bei einem Schiff würde durch die Geschwindigkeits-abhängige Reibung im Wasser allerdings genau das passieren. Trotzdem ist der Bremswert vermutlich asymptotisch endlich.) Ein exponentieller Term könnte also z.B. irgendwie auf eine Geschwindigkeit oberhalb einer gewissen Grenze begrenzt werden, oder man begrenzt einfach die Messreihe auf eine sinnvolle endlich Zeitspanne und sieht die theoretisch ewigen Schmutzeffekte als statistische Schwankung an.

P.S.: Wer Mathematiker fragt, ist selber schuld

-Michael

[haderlump]

Hallo Freunde

Matehmatisch gesehen muß ich hier leider das Handtuch werfen:
1. Ich hatte in der Schule nur Realschulmathe. Müßte aber hier grundsätzlich ausreichén.
2. Ich war in Mathe in der Schule nicht der Klassenprimus, gut auch nicht der Schlechteste.
3. Es ist verdammt lang her, das mit der Schule so ca 40 Jahre.

Trotzdem konnte ich mit Hilfe eurer Betrachtungsweisen das Problem lösen:
Das mach ich dann so:

Beim Programmstart fülle ich ein Array, mit den Werten der Sollbremskurve.
Wenn der Timer dann aktiv wird, suche ich den zugehörigen Wert, der der Istgeschwindigkeit entspricht aus der Tabelle raus. Dieser Wert besagt dann, wie weit der Bremsweg wäre, wenn der Zug mit der derzeitigen Geschwindigkeit zum derzeitigen Zeitpunkt auf die Kurve treffen würde.
Ist der Zug langsamer, dann ist seine Restbremsstrecke größer, und der Zug kann noch beschleunigt werden.
Irgendwann treffen dann beide Werte aufeinander, und der Zug übernimmt die Werte der Sollbremskurve.
Das ist zwar nicht so elegant, wie der mathematische Königsweg, aber für mich noch durchschaubar und für die Praxis ausreichend genau.
In der Simulation klappt es sehr gut, und ich denke, auf der Anlage wird das sicher schön ausschauen.
Also nochmals Danke an alle
Gruß Fritz

P.S. Horst, ich hoffe, (15 Monate alt) mein Enkel entwickelt irgendwann eine Lust, meine Hobbies weiterzuführen.
Für mich ist die Modellbahn ein perfecktes Hobby, Hier kann ich all meine Interessen (ausser dem Musikspielen) verwirklichen.
Ende April werde ich dann in Ruhestand gehen, und ich hoffe, dass ich dann mehr Zeit habe (mal schauen was meine Frau meint) !!

[mschnell]

Ist doch prima !

Auch eine Tabellensuche ist eine Approximation durch eine Kurve mit Parametern (eine Treppen-Funktion mit den Treppen-Höhen als Parameter.

Da brauchst Du zwar viel mehr Parameter für eine ähnliche Genauigkeit als mit einer gut angepassten Funktion, aber der mathematische Überbau ist natürlich viel übersichtlicher.

Eine bessere Approximation an denselben Datenbestand würdest Du mit einer Abschnittsweise definierten linearen Funktion bekommen. Da ziehst Du einfach Geraden-Stücke zwischen den (x/y) Paaren. Ein recht geringer Aufwand, repräsentiert aber mit deutlich höherer Genauigkeit die "Natur".

Das nächst bessere Verfahren sind kubische "Splines" ( http://de.wikipedia.org/wiki/Spline-Interpolation ). Auch nicht sehr aufwändig, und leicht zu verstehen, aber ob es in diesem Fall viel bringt ???? Man findet mit Sicherheit Pascal-Software für Splines im Internet.

-Michael

[mse]

Übrigens: Wer Bilder von meiner Anlage sehen will, kann mich mal im Modellbahnforum besuchen: http://stummiforum.de/viewtopic.php?f=6 ... =haderlump

Fritz, du bist ein Künstler! Fantastisch!

Martin

[mschnell]

+1

SUPER !

-Michael

[haderlump]

Danke fürs Feedback

Ich bin mehr der Generalist. Der weiß von allem etwas, Der Spezialist weiß von Wenigem sehr viel.
Ich mache vieles gerne: Holzarbeiten, modellieren mit Gips, malem, Elektrik, Software (Lazarus und Assembler + C auf Microcontroller) Feinmechanik(Fahrzeugbau) Häuser bauen (aus Holz oder Pappe, nicht aus kunststoff) Bäume Bauen aus Draht und Naturmaterialien, usw.

Alles in allem sehr abwechslungsreich, und das gefällt mir. Wenn mir mal was langweilig wird, mache ich wieder was Anderes, und so kommt nacheinander alles dran.
Und wenn ich mal ein Problem habe, gibt es Euch nette Leute im Internet. Leider kann ich mich bei euch nicht mit Knoffhoff revanchieren, da "hängt mir leider der Arsch zu weit unten".

Noch eine kleine Modellbahngeschichte:
Eine Frau klagt bei ihrer Nachbarin: "Mein Mann hat mich verlassen !" "Der kommt schon wieder, der ist doch schon öfters ausgezogen !"
"Diesmal kommt er nicht mehr, er hat seine Modelleisenbahn mitgenommen !!!!"

Häf a neis Teim

Fritz